En mand vandt 5 mio. kr. i Lotto på en usandsynlig måde. Men var det virkelig så heldigt?
Hvor stor er sandsynligheden for, at den samme person vinder hovedpræmien i Lotto to gange? Dyk ned i matematikkens fascinerende verden, hvor verden måske er skruet anderledes sammen, end man skulle tro.
Det begyndte med et begejstret udbrud på redaktionen.
En mand havde vundet knap 5 mio. kr. på fire forskellige lottospil i samme uge. Det virkede usandsynligt, mente nyhedschefen. Var der nogen, der ville skrive om det, spurgte han.
Det vakte min nysgerrighed, for der er noget med sandsynligheder, som vi ikke forstår: Det er temmelig usandsynligt at blive ramt af et lyn, men alligevel rammes fire-fem personer årligt.
Det er også temmelig usandsynligt at vinde i Lotto, men alligevel findes der vindere uge ud og uge ind.
Det er vel også temmelig usandsynligt, at to tilfældige personer, der mødes, har fødselsdag samme dag, samme år? Ikke?
Nej. For det har maget sig således i mit eget liv, at min kone og jeg fylder år samme dag og er lige gamle. Vi er født med fire times mellemrum.
Jeg har af og til spekuleret på, hvilken hånd der førte os ind på samme kollegiegang i Aarhus i 1991.
For at få svar på alle mine grublerier om sandsynlighedernes mystiske verden cykler jeg op på Institut for Matematik på Aarhus Universitet, hvor Steen Thorbjørnsen sidder på fjerde sal og kan se kranerne på havnen i horisonten.
Han henter en stol, hvor polstringen stikker ud to steder på det grønne betræk lige der, hvor baglårene rammer stolekanten. Det er ikke møbler, forskningsmidlerne går til.
Steen Thorbjørnsen er 55 år, og siden 1994 har sandsynlighedsteori snurret i hans hoved.
Hvis han skal forklare sidemanden ved et middagsselskab, hvad han forsker i, bliver det lidt langhåret.
»Når man siger, at man er matematiker, svarer folk ofte, at de ikke var gode til matematik i folkeskolen,« siger han og kaster sig ud i en forklaring om at forske i en ny form for sandsynlighedsteori, som kan være svær at skrabe fondsmidler ind til, når han søger penge til et projekt.
Jeg forstår ærligt talt heller ikke meget af det, når han bruger udtryk som operatoralgebra og alternativ uafhængighedsbegreb, men han kommer med eksempler på, at andre forskere inden for sandsynlighedsteori har lagt grund for, at ingeniører i dag kan regne på kapaciteter i trådløse netværk. Altså noget, som vi alle bruger hver dag uden at tænke ret meget over det.
Og at matematikken bag kryptering blev udviklet for 200 år siden, inden man fandt ud af at bruge det i dag. Altså håber Steen Thorbjørnsen, at den forskning, han udfører i dag, kan bruges i fremtiden af andre. Den er bare ikke egnet til småsnak ved et middagsselskab.
Det er fødselsdagsproblemet til gengæld.
For ved du, hvor mange personer der skal være samlet, for at der er over 50 pct. chance for, at to af personerne har fødselsdag samme dag?
Svaret er 23. Hvis der ved en fest sidder 23 personer ved bordet, er der 50,7 pct. chance for, at to af dem fylder år samme dag (ikke samme år).
Det finder mange mennesker intuitivt overraskende, og ifølge Steen Thorbjørnsen bunder det i, at vi tænker lineært – altså for at komme over 50 pct. skal godt halvdelen af alle mulige datoer – cirka 183 – være repræsenteret.
»Men den tankegang er for selvisk, fordi den mere handler om, hvor stor chancen er for, at en person i forsamlingen har samme fødselsdato som lige præcis en selv. Og i en forsamling med 22 andre personer er denne kun på små 6 pct.,« siger Steen Thorbjørnsen.
Ifølge Steen Thorbjørnsen skal man tænke på de 23 personer på kryds og tværs. Gør man det, er der 253 muligheder for, at to tilstedeværende bliver matchet med en af de andre.
Da jeg kommer tilbage til Jyllands-Postens mediehus på havnen i Aarhus, går jeg op på 3. sal. Det er ikke her, at jeg normalt sidder, og jeg kender kun få af de kolleger, der sidder heroppe.
Jeg vil nu efterprøve fødselsdagsproblemet i virkeligheden. Jeg noterer min egen fødselsdag først på et stykke stribet papir med månedsnavnene: 21. januar.
Og den allerførste, jeg spørger, siger »23. januar«.
Uha, der var tæt på at være bingo. Sandsynligheden for, at den allerførste, jeg spurgte, havde samme fødselsdato som mig, er kun 0,3 pct.
Så utroligt er mit eksperiment trods alt ikke, men da jeg spørger den 21. kollega, viser det sig, at den 27. december er bingo. Nr. 18, jeg spurgte, havde også fødselsdag den 27. december. Der er 44,4 pct. chance for, at to personer har samme fødselsdato, hvis der er 21 personer samlet.
Herunder kan du prøve fødselsdagsproblemet på egen hånd. Klik på knappen under kalenderen og find ud af, hvor mange forskellige fødselsdatoer du skal generere for at få et match.
Steen Thorbjørnsen har også regnet på sandsynligheden for, at min kone og jeg mødte hinanden.
Altså at to personer, der er født samme dag og år, mødes på et kollegium.
Der, hvor vi boede, var der ca. 450 personer.
Steen Thorbjørnsen antager følgende: Halvdelen var kvinder, hvoraf 75 pct. var inden for et aldersspænd på 10 år, som »Thomas vil være romantisk interesseret i«, som han tørt udtrykker det – svarende til 169 kvinder.
Det giver 4,5 pct. sandsynlighed for, at en kvinde har samme fødselsdato og år som mig.
MEN: Vi skal jo lige finde sammen i den store delmængde af mænd og kvinder på udsigt efter romance, og derfor falder sandsynligheden til 2 promille.
»Hvis man tager den udregning for pålydende, kan du godt betragte dig selv som en heldig mand,« siger Steen Thorbjørnsen, der efter mit besøg vender tilbage, fordi han ikke kan slippe sandsynlighedsovervejelserne – denne gang på landsplan.
Hvis vi går ud fra, at en kvindes alder ved danske par er plus/minus fem år fra partnerens, er der for hvert par en halv promilles sandsynlighed for, at parret har samme fødselsdato. Det betyder ifølge Steen Thorbjørnsen, at der er 98 pct. sandsynlighed for, at der er flere end 500 danske par med samme fødselsdato og år – pr. 1 mio. par.
Tallet ligger og summer lidt. Gad vide, om Danmarks Statistik kan opklare det præcise tal?
En forespørgsel til hof-statistikerne viser, at de faktisk har det nøjagtige tal liggende – og at det selvfølgelig er en smule kompliceret.
Der er 2,16 mio. gifte personer i Danmark. Det vil svare til 1,08 mio. ægtepar. Ud af dem er der 479 ægtepar, der har samme fødselsdato. Altså tæt på Steen Thorbjørnsens udregninger.
Men ifølge Danmarks Statistik bør man sortere 1. januar og 1. juli fra, da CPR-registeret historisk har placeret indvandrere, der ikke kendte deres fødselsdato, på disse to datoer. Gør man det, falder tallet til 442 par.
Endvidere oplyser Danmarks Statistik, at der er 3.283 par, der har samme fødselsdag, men ikke samme år. Tallet er 2.859, hvis man sorterer de to nævnte datoer fra.
Lad os vende tilbage til manden, der vandt knap 5 mio. kr. på fire forskellige lottospil i samme uge.
Han vandt toppræmien på Jokeren, hvilket der kun er 1/10.000.000-dels chance for. Derudover vandt han mindstepræmien i Lotto (1/65), havde både fem rigtige (1/60.870) og tre rigtige (1/66) i Vikingelotto og vandt mindstepræmien i Eurojackpot (1/49).
»Hvis man ser det ud fra den enkelte spillers synspunkt: Altså hvor stor er sandsynligheden for, at lige præcis jeg vinder den kombination i næste uge, hvis jeg spiller det samme antal rækker, som manden gjorde, så er der 0,000000000002 pct. chance. Altså meget, meget lille,« siger Steen Thorbjørnsen.
Det var med andre ord ret usandsynligt. Men i pressemeddelelsen om den heldige lottogevinst oplyste man også, at han havde spillet, siden lottospillene gik i gang – senest Eurojackpot i 2012, dvs. han har spillet i 678 uger. Det øger chancen en lille smule til 0,0000000014 pct. (der er tre 0’er færre).
Men hvis man – som med fødselsdagsproblemet – zoomer ud og ser på alle danskere (1 mio. ifølge Danske Spil), der spiller uge efter uge, stiger sandsynligheden til 0,0014 pct.
»Vi må konkludere, at der trods alt var tale om et helt utroligt held i det eksempel. Faktisk sagde en af mine gode kolleger med et glimt i øjet, at det var så utroligt, at der måtte være tale om svindel,« siger Steen Thorbjørnsen, der har regnet sig frem til, at hvis sandsynligheden skal over 1 pct. for, at netop det udfald sker for 1 blandt 1 mio. spillere, så skal der spilles i mindst 9.461 år.
Jeg havde nok håbet på, at manden var lidt mindre heldig, end jeg havde forestillet mig.
Så jeg beder Steen Thorbjørnsen om at regne på en anden ”utrolig” lottohistorie.
En mand fra Aabenraa vandt i 2017 hovedpræmien i Lotto for anden gang. Han vandt også i 2001.
»Det fløj bare ud af mig: ”Det er fandeme da løgn”,« sagde manden til Danske Spil.
Ifølge Steen Thorbjørnsen er det heller ikke specielt sandsynligt, at det sker for netop den mand, der ugentligt havde spillet 10 rækker siden 1989.
Det første pletskud – efter 12 år – skete med 0,075 pct. sandsynlighed, mens der kun var 0,00015 pct. sandsynlighed for, at det skete anden gang – for netop den mand.
Sagen er bare den, at hvis vi antager, at 1 mio. danskere spiller Lotto i 28 år (dvs. fra 1989 og indtil mandens andet pletskud i 2017), så er der hele 78 pct. sandsynlighed for, at det sker for en tilfældig Lotto-spiller.
Faktisk vandt en kvinde fra Aarhus i 2023 også sin anden hovedpræmie efter at have vundet den første i 1997. Og sandsynligheden for, at mindst to danskere vinder hovedpræmien to gange i perioden 1989-2023, er faktisk på hele 65 pct. ifølge Steen Thorbjørnsen.
Da man skal være utrolig heldig for at vinde i Lotto, oplever presse- og kommunikationsrådgiver Mikkel Svane-Petersen hos Danske Spil, at vinderne faktisk slet ikke regner med at vinde.
»En del af mit job er tale med de danskere, der vinder over 1 mio. kr. hos Danske Spil, og én ting er helt sikker: Der er ikke nogen, der forventer at vinde. De bliver alle over én kam meget overraskede og glade, når de gør,« siger Mikkel Svane-Petersen, der selv bøvler med at forstå sandsynlighederne.
»Selv for mig, der arbejder tæt på lotterier, og i parentes bemærket har en hustru, der arbejder med statistik, kan det være svært at forstå. For at give folk en idé om, hvad sandsynligheden er for at vinde i et af vores lotterier, skriver vi derfor sandsynlighederne på vores hjemmeside,« siger han.
Et andet eksempel, der fascinerer Steen Thorbjørnsen, kommer fra et amerikansk quizshow. Her stod værten Monty Hall i spidsen for ”Let’s Make a Deal”-showet, der begyndte i 1963 og stadig bliver bragt. I en del af quizzen skulle en deltager vælge mellem tre døre for at vinde en gevinst. Bag én af dørene var der en bil, og bag de to andre geder.
Deltageren valgte en tilfældig dør, hvorefter Monty Hall – som vidste, hvad der var bag dørene – åbnede en af de to resterende døre, som altid afslørede en ged. Deltageren var altså sikker på, at der nu var en ged og en bil bag de to resterende døre.
Herefter fik deltageren mulighed for at ombestemme sig og vælge den anden lukkede dør eller fastholde sit valg.
Prøv det selv.
»Mange tror, at det kan være ligegyldigt, om man skifter eller ej, fordi der er 50 pct. chance for, at den dør, man allerede har valgt, gemmer på bilen. Men faktisk er der 2/3 chance for at vinde, hvis man skifter dør, fordi det er den samme spilleplade, men en af gederne er væk. Det er kun, når man skifter dør, at man udnytter den ekstra information, man får fra Monty Hall,« siger Steen Thorbjørnsen.
