Kronik: Matematik og paradokser

For omkring to hundrede år siden udtalte den store franske matematiker og fysiker Pierre Simon Laplace, at Newton var en utrolig heldig mand. Der fandtes nemlig kun ét univers, og det var ham, der havde opdaget dets love. Man havde med den euklidiske geometri, samt Keplers og Newtons love, endelig fået styr på verden og universet.

Sådan var dét - troede man.

Imidlertid fandt man ud af, at verden ikke bare kunne have én struktur, men at der tilsyneladende var flere muligheder. Spørgsmålet var så, hvilken var den rette; og videre, om der overhovedet kunne være tale om, at verden rent faktisk havde en matematisk struktur. Desuden opdagede man, at den matematik, som man havde troet i sig selv udgjorde en uproblematisk enhed, var langt fra dette ideal. Ikke nok med, at verdens matematiske struktur ikke længere gav sig selv. For at kunne stole på matematikken, blev det nu også nødvendigt at sikre dens grundlag.

Det betød, at en række nye filosofiske spørgsmål dukkede op. Hvorfor virker matematikken? Hvordan kan vi stole på den? Hvordan kan det være, at vi er kommet i besiddelse af et så kraftfuldt instrument til at tænke med, der samtidig kan bruges så effektivt på at løse praktiske problemer? Kan vi acceptere, at matematikken som en ren erkendelsesform er givet én gang for alle? Eller er det simpelthen resultatet af en lang udviklingsproces, der er underlagt evolutionslærens almene love, således at det var den bedst egnede matematiske erkendelse, der overlevede kampen mod andre mindre egnede, da vi i sin tid rejste os fra ursumpen?

Disse spørgsmål havde tidligere i matematikkens historie og filosofi spillet en ganske ubetydelig rolle. Der var ingen grund til at stille spørgsmål til matematikken selv. Selvom man kunne tvivle på alt, stolede man stadig på matematikken. Matematikken havde en intellektuel særstatus, der som sikker erkendelse garanterede vejen til sandhed. Den var opbygget af aksiomer - nogle ubetvivlelige grundprincipper - og nogle slutningsregler, hvormed man altid kunne udlede sande konklusioner.

Den tyske filosofi Immanuel Kant var enig. I sin analyse af den menneskelige erkendelse skelnede han skarpt mellem erfaringen og det, der lå udenfor erfaringen. For at garantere den matematiske videns sikkerhed og nødvendighed antog Kant, at den menneskelige erkendelse var struktureret af to aprioriske (dvs. erfaringsuafhængige) grundformer: tid og rum. Den aprioriske intuition om tid tjente til at organisere sanse- og ikke-sansemæssig erfaring i en tidslig orden. Den aprioriske intuition om rum tjente til at organisere sanseerfaring i forhold til et euklidisk rum med tre dimensioner. Det var således de aprioriske intuitioner, der styrede den menneskelige erfaring og ikke omvendt.

I første halvdel af det 19. århundrede opdagede man imidlertid, at det var muligt at konstruere andre geometrier end den euklidiske. Ydermere måtte den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss konstatere, at det uden brug af erfaringen var umuligt at beslutte hvilken geometri der var den rigtige. Kant kunne altså ikke have ret i, at det tre-dimensionale euklidiske rum var vor intuitions eneste form. Studiet af de nye geometrier førte til en skærpet opmærksomhed omkring geometriens grundlag. Bernhard Riemann lagde med sin formalisering af differentialgeometrien fundamentet til Einsteins almene relativitetsteori. Dermed var den matematiske konsistens for fysiske teorier om rummets krumning og et grænseløst, men alligevel endeligt univers, sikret.

Aritmetikken - læren om tallene - undergik ligesom geometrien en betydelig forandring. De mange vigtige matematiske opdagelser, der var blevet gjort i det 17. og 18. århundrede, var foregået så hurtigt, at man ikke havde bekymret sig så meget om grundlaget. I det 19. århundrede derimod dukkede der en kritisk strenghed op, der krævede konsistens i resultaterne. Felix Klein sammenlignede ved århundredets slutning situationen i matematikken med genetableringen af en ordnet administration efter et langt krigstogt. Det aritmetiske bevis kom til at stå i centrum for den nye kritiske strenghed. Målet var at skabe et nyt grundlag for infinitisimal-regningen, men reelt førte det til en omformning og reformulering af matematikken i sin helhed.

Også fra anden side søgte man at konstruere et konsistent grundlag for matematikken. Logikken, der siden antikken ikke havde været ude for de store omvæltninger, udviklede sig hastigt i det 19. århundrede. Som i aritmetiseringen af matematikken kom formalisering og kritisk strenghed til at stå centralt. Det førte til opbygningen af aksiomatiske og præcist definerede symbolske systemer, der bragte logikken langt videre end det punkt, den havde haft i Kants levetid. Kants syn på sagen var blevet forældet. Forudsætningerne havde ændret sig og derfor måtte det filosofiske grundlag for matematikken selvfølgelig revideres.

Ved overgangen til det 20. århundrede var optimismen stor. Der var flere lovende programmer i gang. Endelig kunne man sikre det grundlag, der tidligere blot var taget for givet. Udviklingen indenfor mængdelæren og den formelle logik havde været ligeså succesfuld, som den var gået hurtigt. Man var fælles om at betragte matematikken som et formelt system og nu så det ud til, at der langt om længe ville blive bragt orden i den rodebutik tidligere tiders matematikere havde overladt til eftertiden. Men så dukkede der et nyt problem op: paradokserne.

Der findes ikke noget mere generende for et formelt system end et paradoks. Det vil sige, en slutning der er i fuld overensstemmelse med det formelle systems regler, men som alligevel fører til en modsigelse. Det betyder nemlig, at der må være noget i vejen med den måde som det formelle system er konstrueret på. Den polsk-amerikanske logiker og matematiker Alfred Tarski har udtrykt det således, at en modsigelse er et sygdomstegn.

Problemerne opstår, når man konstruerer sætninger, der referer til sig selv. Et af de ældste og bedst kendte er kretenseren Epimenides' sætning »alle kretensere lyver«. Denne sætning er også kendt som løgnerparadokset. Hvis sætningen er sand, så er den falsk. Altså, hvis alle kretensere lyver, så lyver alle kretensere ikke, da Epimenides selv er kretenser. Dette paradoks findes i et utal af varianter, hvor de mest generelle formuleringer er »Jeg lyver« (Eubulides) og »Denne sætning er falsk« (Tarski). Fælles for disse er, at hvis de er sande, så er de falske og hvis de er falske, er de sande.

Denne paradoksale konstruktion skulle have betydet en alt for tidlig død for mindst én tænker. Philetas fra Kos styrtede sig ifølge anekdoten i havet, da han ikke kunne udholde konsekvenserne af dette tilsyneladende uløselige paradoks.

Knap så dramatiske følger fik opdagelsen af paradokser med lignende selvreferende strukturer indenfor logikken og mængdelæren. Men, alligevel. Bertrand Russell opdagede i sit arbejde med logikkens grundlag selv et paradoks. Efterfølgende lavede han en liste over de forskellige typer, man indtil videre havde kendskab til og kom frem til at der var mindst syv.

Russells paradoks har at gøre med mængder, der samtidig er element i sig selv. En populær variation er kendt som "barberens paradoks". En landsbys barber pralede med, at han godt nok ikke barberede de mænd, der barberede sig selv. Til gengæld barberede han alle de mænd i byen, der ikke barberede sig selv. Men hvordan forholdt det sig så egentlig med ham selv? Hvis han barberede sig selv, så kunne han ikke barbere sig selv. Men omvendt, hvis han ikke barberede sig selv, ja, så barberede han altså sig selv.

Det viste sig nu, at denne type paradokser var vældigt problematiske for noget så tilsyneladende simpelt som at definere talrækken.

Russells store projekt var at demonstrere, at al matematik kunne ledes tilbage til nogle få logiske grundsætninger. Sørgede man blot for, at de logiske grundsætninger var modsigelsesfrie, ville matematikken dermed bygge på et modsigelsesfrit grundlag.

Men, hvis man nemt kunne konstruere sætninger der modsagde sig selv og samtidig var i overensstemmelse med de logiske regler, ja, så kunne dette forhold true hele projektet. Derfor udgjorde sådanne paradoksers fremkomst et alvorligt problem.

Det stod klart, at dette problem måtte løses, hvis matematikkens konsistens skulle garanteres. En af de metoder man forsøgte sig med var at konstruere en logisk eller matematisk teori der skulle bevise, at matematikkens grundlag rent faktisk var modsigelsesfrit. Både Bertrand Russell og David Hilbert var meget fortrøstningsfulde med hensyn til hvert deres program.

Men i 1931 blev det af den unge matematiker Kurt Gödel bevist, at intet formelt system ville være istand til at garantere sin egen konsistens. Det betød samtidig, at Russells og Hilberts programmer aldrig ville kunne lykkes. Der var ikke nogen vej udenom. Gödels resultater var i overensstemmelse med de accepterede formelle regler. Som konsekvens måtte man opgive ambitionen om, at lade matematikken selv garantere sin konsistens og fuldstændighed.

Tidligere havde man været overbevist om matematikkens enhed, sandhed og ufejlbarlighed. Gennem de sidste to hundrede år er dette billede smuldret, selvom man har gjort hvad man kunne for at holde sammen på det. Imidlertid har alle disse bestræbelser, selvom de umiddelbart slog fejl, ført til en filosofisk årvågenhed og en række gode redskaber til at analysere matematiske systemer. Det vil måske ikke lykkes at skabe et enkelt og altomfattende grundlag for hele matematikken i én teori. Men vi har lært utrolig meget om matematikkens grænser og gyldighed. Man må dog ikke tro, at det har svækket den. Matematikken har aldrig stået stærkere, end den gør i dag.