Kronik: Vores matematiske hjerne

Hvad tænker du på, mor? Anna på 5 år ved godt, hvad hendes matematikermor laver, når hun ser fraværende ud midt i morgenkaffen. Og hun havde ret: Jeg tænkte, og jeg tænkte på matematik. Kræver den form for tankevirksomhed særlige evner? Det påstår mange, og det er sådan set flatterende for matematikeren, men på den anden side underforstås det ofte, at det er en slags deformitet - et særligt nørdgen - der gør, at nogle er gode til matematik.

I de seneste ca. 20 år er der forsket meget i sprogs strukturer, og man har spekuleret over, hvorfor mennesket udviklede evnen til at formulere sig om og tænke på ting og begivenheder, som ikke er til stede i de umiddelbare omgivelser: Fremtidige begivenheder, fantasivæsener mv. Mennesket udviklede sprog for 100.000 år siden, tallene er højst 10.000 år gamle og matematikken er højst 5.000 år gammel. Når man tænker på, hvor lang tid, ændringer i evolutionen tager, er det mest sandsynligt, at beredskabet til at udvikle matematik har været klar længe før, vi udviklede matematikken og dermed også, at det nok har været udviklet med et andet formål.

Keith Devlin, som er matematiker og forfatter af mange populære bøger om matematikkens væsen, har skrevet en bog, "The Maths Gene, why everybody has it, but most people don't use it". I bogen argumenterer han for, at evnen til at være matematiker er den samme som evnen til at tale og forstå vores modersmål. Det gør han yderst overbevisende, og jeg kan stærkt anbefale bogen, som jo nok desværre ikke bliver oversat til dansk. Det ville da være befriende, hvis man kunne udrydde det skrækkelige udtryk "matematisk geni", som pressen f.eks. ofte hæfter på unge mennesker, hvis eneste forbrydelse består i gode karakterer i matematik. Myten om, at bestemte befolkningsgrupper skulle være særligt gode eller særligt dårlige til at lære matematik, kan så skydes ned ved samme lejlighed.

Hvad er det så, Devlin skriver?

Jo, først må vi tilbage til Annas spørgsmål: Hvad tænker matematikere på? Det er ikke regning, det drejer sig om. Matematikere bruger meget lidt tid på at regne med tal. En forklaring lyder: »Matematik er mønstre.« Her mener man mønstre i bred forstand; f.eks. vil en matematiker påstå, at der kun er 17 forskellige tapetmønstre, og det kan jo ikke være den slags mønstre, man kigger på i de gigantiske tapetbøger hos farvehandleren. Det er det heller ikke; det er symmetrien i mønstrene, det drejer sig om; altså de måder, man kan dreje, skubbe og spejle dem på, og ende med et mønster, der ser ligesådan ud, som det man startede med. Matematikeren vil sige, at to mønstre, der har samme symmetri, er de samme. Det er altså den underliggende struktur, der er sagen for matematikeren. Men om hun foretrækker det ene eller det andet mønster til soveværelset, er selvfølgelig en helt anden sag. To mønstre, der har samme symmetri, kan se meget forskellige ud.

Man finder symmetrier mange steder: I molekyler, i blomster, i teoretisk fysik. For at undgå at blive distraheret af, om man nu tænker på symmetri af den ene eller den anden slags, abstraherer man i matematikken, og betragter strukturen i sig selv; man ser på de karakteristiske træk ved symmetrier. Man kan f.eks. altid flytte tilbage igen: dreje den anden vej, skubbe tilbage, spejle igen. Studiet af den slags strukturer kaldes gruppeteori.

Matematikeren kan altså arbejde med den abstrakte teori om symmetrier, uden at skulle have et bestemt tapet, en blomst eller en anden konkret model på bordet. Til håndtering af disse abstrakte strukturer, som den menneskelige hjerne uddrager af verden omkring os, bruger matematikken det symbolsprog, som skræmmer mange.

For at begå sig i matematikken skal man kunne relatere de abstrakte fænomener til hinanden, få ideer til hvilke nye resultater, man bør kunne udlede, have intuition om abstrakte strukturer etc. Altså behandle den abstrakte verden, som de fleste mennesker vil se som et virvar af symboler, som om det var en del af dagliglivet.

Situationen kan sammenlignes med visse musikeres evne til at læse fra blad. De hører musikken ved at se noderne, som jo også er en samling meningsløse symboler for langt de fleste mennesker. Matematikeren har bare ikke muligheden for at "spille" matematikken for dem, der ikke kan læse symbolerne.

Matematikken kræver altså en anden tankegang end den, vi bruger til daglig, men Devlins påstand er, at det er et spørgsmål om træning og ikke om en særlig hjerne. Han beskriver 4 abstraktionsniveauer, hvoraf jeg kun vil omtale de to øverste: Niveau 3 abstraktion involverer virkelige genstande, som den, der tænker, har hørt beskrevet, men måske aldrig set, eller det kan være fantasikombinationer af virkelige ting, som f.eks. en 2 meter lang forgyldt banan trukket af to lyserøde enhjørninge...

Niveau 4 abstraktion er den, der skal bruges i matematikken. Genstandene for matematisk tankegang er helt abstrakte, de har ingen simple eller direkte forbindelser til den virkelige verden, bortset fra at de kan være abstraheret fra virkelige fænomener. Som f.eks. gruppeteorien, der tager udgangspunkt i symmetribetragtninger, men nu lever sit eget liv som matematik.

Hvis der findes et særligt matematiker/nørd-gen, skulle det være evnen til at håndtere niveau 4, at finde nye egenskaber ved de abstrakte objekter og finde på nye abstrakte objekter. Spørger man matematikere, hvordan matematiske resultater opstår, vil man få mange forskellige svar, men langt de fleste vil sige, at de får ideerne "pludseligt": Man har arbejdet hårdt med et problem, og så indfinder løsningen sig, når man stiger på bussen, under bruseren, på cyklen,... Bagefter kommer så det kedelige og langsommelige arbejde med at skrive den formelle udledning af resultatet ned.

Kigger man i en matematisk artikel, kan man undre sig over, at det overhovedet kan lade sig gøre at have så mange tegn i hovedet på vej til bussen - at man kan have intuition om matematiske objekter. At man kan tænke på så komplicerede konstruktioner uden at have bogen slået op. Det kan man også kun, når man har øvet sig: Når man har set den abstrakte struktur fra mange sider, set mange eksempler, kender mange egenskaber, har prøvet at angribe nogle problemer indenfor teorien, kender løsninger på lignende problemer i andre teorier. Man skal føle sig hjemme og vide hvilke strukturer, der optræder i hvilke forbindelser. Eksempelvis er p ganske vist et tal, men for en gymnasieelev er det også forholdet mellem omkreds og diameter i en cirkel og for en matematiker er det langt mere - det er summen 4(1-1/3+1/5-1/7+...), det er et irrationalt tal, det er transcendent og meget mere. Det er som med personer i en roman: Man kender deres forhold til hinanden, man ved, hvad de har gjort før og med hvem, man kender nogle af deres egenskaber og deres omgivelser og har en ide om, hvad de mon kan finde på senere, hvis de bliver bragt sammen med andre af personerne i romanen. Man er spændt på at læse fortsættelsen, fordi man er engageret i personerne.

Matematikeres hemmelighed er, at de kan tænke på de matematiske begreber på samme måde, som en 10-årig kan leve sig ind i Harry Potter-bøgernes univers.

Den grundlæggende egenskab ved hjernen, som bruges, er altså det, 2/3 af al konversation iflg. sprogforskerne drejer sig om: Sladder! Hvem gjorde hvad med hvem hvornår, og er det godt eller skidt. Ser man på den struktur, som er ens for alle sprog, er det præcis det, sproget er velegnet til. For vore fjerne forfædre kan netop evnen til at interessere sig for flokken og dermed føle et socialt fællesskab, selvom man var på jagt langt væk, have været en overlevelsesfaktor. Det kan altså være derfor, det var en fordel i evolutionen at bruge 1/5 af kroppens energi på at drive den uforholdsmæssigt store hjerne.

Evnen til at forstå matematik er altså evnen til at leve med i matematikkens sæbeopera: Hvad er reglerne, "hvem" har haft noget for med "hvem", plejer p at træde ind på scenen i situationer, der ligner denne her, og hvad sker der så?

Hvorfor er det så så svært? Vi kan allesammen leve os ind i den abstrakte verden i Matador, og diskutere personerne, som var de vores nære familie. Skulle det være lige så let at føle sig i familie med kvadratrod 2 og p ? Nej, det er det ikke. Matematikken kræver ganske vist kun, at man har en ganske almindelig standardmodel i hjerne, men man skal have vilje, selvtillid, social opbakning og stædighed nok til at vove sig ind i niveau 4 abstraktion. Det kræver en bevidst indsats at lære at begå sig hjemmevant i matematikkens sæbeopera, for reglerne er ikke dem, vi lærer ved at leve i verden. Man skal arbejde med eksempler, manipulere med symbolerne efter reglerne og efterhånden nå til sin egen forståelse af, hvordan det hele hænger sammen med det, man ved i forvejen. Det er ikke nok udelukkende at ville lære sig regler som besværgelser - man skal forsøge at forstå, hvorfor reglerne nødvendigvis må være sådan. Man kan udmærket lære at lægge brøker sammen ved at lære sig en remse udenad, men når man har øvet sig i at bruge metoden, bør man prøve at forstå, hvorfor den er, som den er. Hvis man kun har lært udenad uden nogensinde at overveje, hvad der foregår; ja, så vil man have meget svært ved at genkalde sig, hvordan man gør, når eksamen er overstået. Har man derimod forstået metoden, vil man selv kunne rekonstruere den senere, og man vil kunne bruge sin forståelse af brøkerne til at lære sig noget nyt. Det tager tid at forstå i stedet for at lære udenad, men det er netop den indsats der skal til, for at man senere kan begå sig med lethed i matematikken.

Når den nødvendige tid og koncentration er investeret i at komme til at kende et bestemt område af matematikken godt, bevæger man sig til gengæld rundt i netop dette område med lethed.

For at kunne få nye ideer og virkelig arbejde med matematikken som matematiker skal man tilbringe nok tid i den abstrakte verden til, at den begynder at synes virkelig på samme måde som personerne i en roman. Man skal kunne blive begejstret, skuffet, ophidset, ja følelsesmæssigt engageret i, om det ene eller det andet resultat holder.

Det har vi alle en hjerne, der kan, men der kan være mange grunde til, at nogle ikke mener at kunne lære matematik. Den nødvendige selvtillid, der skal til for at turde kaste sig ud i at forstå og ikke bare lære udenad, er i modsætning til den matematiske hjerne ikke noget, man er født med. Devlin sammenligner med holdningen til maratonløb: I 60'erne troede man, at det krævede ganske særlige evner at gennemføre et maratonløb, men nu om dage ved vi vel allesammen, at det er noget, man kan, hvis man træner tilstrækkelig meget. Hvis man skal være rigtig god til det og løbe hurtigst, kræver det særlige evner, men gennemføre kan de fleste. På samme måde med matematikken: For at få Fields medaljen (Matematikkens Nobelpris), skal man have særlige evner, men hvis man kan tage en studentereksamen, kan man også tage en matematisk studentereksamen, hvis ikke nogen har overbevist en om, at man ikke kan.